Я не знаю, заметила ли Джесс лед только тогда, когда начала скользить по нему, этого никто точно не скажет, но однозначно могу сказать, что изначально она понятия не имела, что будет бежать по льду. Это я к фразе Риты о том, что Джесс знала, что будет бежать по льду.

Нам важно значение под номером 1. Смотрим прилагательное "случайный":

Снова очевидно, что для нас важно первое значение. Рита, смотри. Я так понимаю, что мы можем сказать, что Джесс ступила на лед непридвиденно для себя, непреднамеренно. Климпер создал лед, после чего она вступила в область, покрытую льдом, как мне кажется, явно непреднаменно. Что соотносится со значением прилагательного "случайный", от которого образовано наречие "случайно".
Вот после этого анализа данных слов я пришел к выводу, что Мел все же явно прав. Но это я пришел. А ты, Рита, что думаешь?

А так все просто - если употреблено слово, у которого несколько значений, и не уточнено что именно имелось в виду, то отвечающие вольны трактовать это как им угодно. Думаешь, почему у меня такие формулировки вопросов даже с короткими ответами, и почему я иногда по три часа над формулировкой думаю? Стараюсь избежать разночтений и иметь возможность отмахаться в случае чего от претензий аргументированно.